高一數(shù)學知識總結（十六篇）

【第1篇 2023高一數(shù)學知識點總結集合

XX高一數(shù)學集合知識點總結

一.知識歸納：

1.集合的有關概念。

1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互異性(若a?a，b?a，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件

2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3)集合的分類：有限集，無限集，空集。

4)常用數(shù)集：n，z，q，r，n_

2.子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。

1)子集：若對_∈a都有_∈b，則a b(或a b);

2)真子集：a b且存在_0∈b但_0 a;記為a b(或 ，且 )

3)交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}

4)并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}

5)補集：cua={_| _ a但_∈u}

注意：①? a，若a≠?，則? a ;

②若 ， ，則 ;

③若 且 ，則a=b(等集)

3.弄清集合與元素、集合與集合的關系，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。

4.有關子集的幾個等價關系

①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;

④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。

5.交、并集運算的性質

①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a;

③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub;

6.有限子集的個數(shù)：設集合a的元素個數(shù)是n，則a有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。

二.例題講解：

【例1】已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，則m,n,p滿足關系

a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一：對于集合m：{_|_= ,m∈z};對于集合n：{_|_= ,n∈z}

對于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以m n=p，故選b。

分析二：簡單列舉集合中的元素。

解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關系，應分析各集合中不同的元素。

= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，

= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以選b。

點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設集合 ， ，則( b )

a.m=n b.m n c.n m d.

解：

當 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選b

【例2】定義集合a_b={_|_∈a且_ b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，則a_b的子集個數(shù)為

a)1 b)2 c)3 d)4

分析：確定集合a_b子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

解答：∵a_b={_|_∈a且_ b}， ∴a_b={1,7}，有兩個元素，故a_b的子集共有22個。選d。

變式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，則6?a∈m，那么集合m的個數(shù)為

a)5個 b)6個 c)7個 d)8個

變式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.

解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評析 本題集合a的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù)，所以共有 個 .

【例3】已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。

解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a

∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1，

∴ ∴

變式：已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求實數(shù)b,c,m的值.

解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴

又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足：a∪b={_|_>-2}，且a∩b={_|1

分析：先化簡集合a，然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b，哪些元素不屬于b。

解答：a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。

綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}

變式1：若a={_|_3+2_2-8_>0}，b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4}，a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數(shù)形結合的方法，作出數(shù)軸來解之。

變式2：設m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0}，若m∩n=n，求所有滿足條件的a的集合。

解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m

①當 時，a_-1=0無解，∴a=0 ②

綜①②得：所求集合為{-1，0， }

【例5】已知集合 ，函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域為q，若p∩q≠φ，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：先將原問題轉化為不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。

解答：(1)若 ， 在 內有有解

令 當 時，

所以a>-4,所以a的取值范圍是

變式：若關于_的方程 有實根,求實數(shù)a的取值范圍。

解答：

點評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。

【第2篇 高一數(shù)學知識點總結集合

一.知識歸納：

1.集合的有關概念。

1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

②集合中的元素具有確定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件

2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3)集合的分類：有限集，無限集，空集。

4)常用數(shù)集：N，Z，Q，R，N_

2.子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。

1)子集：若對_∈A都有_∈B，則A B(或A B);

2)真子集：A B且存在_0∈B但_0 A;記為A B(或 ，且 )

3)交集：A∩B={_| _∈A且_∈B}

4)并集：A∪B={_| _∈A或_∈B}

5)補集：CUA={_| _ A但_∈U}

注意：①? A，若A≠?，則? A ;

②若 ， ，則 ;

③若 且 ，則A=B(等集)

3.弄清集合與元素、集合與集合的關系，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。

4.有關子集的幾個等價關系

①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

5.交、并集運算的性質

①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;

③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;

6.有限子集的個數(shù)：設集合A的元素個數(shù)是n，則A有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。

二.例題講解：

【例1】已知集合M={_|_=m+ ,m∈Z},N={_|_= ,n∈Z},P={_|_= ,p∈Z}，則M,N,P滿足關系

A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一：對于集合M：{_|_= ,m∈Z};對于集合N：{_|_= ,n∈Z}

對于集合P：{_|_= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以M N=P，故選B。

分析二：簡單列舉集合中的元素。

解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關系，應分析各集合中不同的元素。

= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。

點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設集合 ， ，則( B )

A.M=N B.M N C.N M D.

解：

當 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選B

【例2】定義集合A_B={_|_∈A且_ B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A_B的子集個數(shù)為

A)1 B)2 C)3 D)4

分析：確定集合A_B子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

解答：∵A_B={_|_∈A且_ B}， ∴A_B={1,7}，有兩個元素，故A_B的子集共有22個。選D。

變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個數(shù)為

A)5個 B)6個 C)7個 D)8個

變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評析 本題集合A的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù)，所以共有 個 .

【例3】已知集合A={_|_2+px+q=0},B={_|_2?4_+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。

解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴B={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1，

∴ ∴

變式：已知集合A={_|_2+b_+c=0},B={_|_2+m_+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數(shù)b,c,m的值.

解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合B滿足：A∪B={_|_>-2}，且A∩B={_|1

分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。

解答：A={_|-21}。由A∩B={_|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。

綜合以上各式有B={_|-1≤_≤5}

變式1：若A={_|_3+2_2-8_>0}，B={_|_2+a_+b≤0},已知A∪B={_|_>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數(shù)形結合的方法，作出數(shù)軸來解之。

變式2：設M={_|_2-2_-3=0},N={_|a_-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。

解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

①當 時，a_-1=0無解，∴a=0 ②

綜①②得：所求集合為{-1，0， }

【例5】已知集合 ，函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域為Q，若P∩Q≠Φ，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：先將原問題轉化為不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。

解答：(1)若 ， 在 內有有解

令 當 時，

所以a>-4,所以a的取值范圍是

變式：若關于_的方程 有實根,求實數(shù)a的取值范圍。

解答：

點評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。

【第3篇 2023年高一數(shù)學知識點總結

高一數(shù)學必修一知識點總結

第一章 集合與函數(shù)概念

一、集合有關概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

（1）元素的確定性如：世界上的山

（2）元素的互異性如：由happy的字母組成的集合{h,a,p,y}

（3）元素的無序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數(shù)集及其記法：_ kb 1.c om

非負整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：n

正整數(shù)集 ：n_或 n+

整數(shù)集： z

有理數(shù)集： q

實數(shù)集： r

1）列舉法：{a,b,c……}

2) 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合{_?r|_-3>2} ,{_|_-3>2}

3) 語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4) venn圖:

4、集合的分類：

(1)有限集 含有有限個元素的集合

(2)無限集 含有無限個元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合 例：{_|_2=－5｝

二、集合間的基本關系

1.“包含”關系—子集

注意： 有兩種可能（1）a是b的一部分，；（2）a與b是同一集合。

反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作a b或b a

2．“相等”關系：a=b (5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設 a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同則兩集合相等”

即：① 任何一個集合是它本身的子集。a?a

② 真子集:如果a?b,且a? b那就說集合a是集合b的真子集，記作a b(或b a)

③ 如果 a?b, b?c ,那么 a?c

④ 如果a?b 同時 b?a 那么a=b

3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為φ

規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

4.子集個數(shù)：

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集，含有2n-1個非空子集，含有2n-1個非空真子集

三、集合的運算

運算類型 交 集 并 集 補 集

定 義 由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集．記作a b（讀作‘a交b’），即a b=｛_|_ a，且_ b｝．

由所有屬于集合a或屬于集合b的元素所組成的集合，叫做a,b的并集．記作：a b（讀作‘a并b’），即a b ={_|_ a，或_ b})．

設s是一個集合，a是s的一個子集，由s中所有不屬于a的元素組成的集合，叫做s中子集a的補集（或余集）

記作 ，即

csa=

韋

恩

圖

示

性

質 a a=a

a φ=φ

a b=b a

a b a

a b b

a a=a

a φ=a

a b=b a

a b ａ

a b b

(cua) (cub)

= cu (a b)

(cua) (cub)

= cu(a b)

a (cua)=u

a (cua)= φ．

二、函數(shù)的有關概念

1．函數(shù)的概念

設a、b是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合a中的任意一個數(shù)_，在集合b中都有確定的數(shù)f(_)和它對應，那么就稱f：a→b為從集合a到集合b的一個函數(shù)．記作： y=f(_)，_∈a．其中，_叫做自變量，_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與_的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(_)| _∈a }叫做函數(shù)的值域．

注意：

1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)_的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的_的值組成的集合.

(6)指數(shù)為零底不可以等于零，

(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關）；

②定義域一致 (兩點必須同時具備)

2．值域 : 先考慮其定義域

(1)觀察法 (2)配方法 (3)代換法

3. 函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：

在平面直角坐標系中，以函數(shù) y=f(_) , (_∈a)中的_為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點p(_，y)的集合c，叫做函數(shù) y=f(_),(_ ∈a)的圖象．c上每一點的坐標(_，y)均滿足函數(shù)關系y=f(_)，反過來，以滿足y=f(_)的每一組有序實數(shù)對_、y為坐標的點(_，y)，均在c上 .

(2) 畫法

1.描點法： 2.圖象變換法：常用變換方法有三種：1）平移變換2）伸縮變換3）對稱變換

4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間 （2）無窮區(qū)間 （3）區(qū)間的數(shù)軸表示．

5．映射

一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合a中的任意一個元素_，在集合b中都有確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：a b為從集合a到集合b的一個映射。記作“f（對應關系）：a（原象） b（象）”

對于映射f：a→b來說，則應滿足：

(1)集合a中的每一個元素，在集合b中都有象，并且象是的；

(2)集合a中不同的元素，在集合b中對應的象可以是同一個；

(3)不要求集合b中的每一個元素在集合a中都有原象。

6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．

補充：復合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),則 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 稱為f、g的復合函數(shù)。

二．函數(shù)的性質

1.函數(shù)的單調性(局部性質)

（1）增函數(shù)

設函數(shù)y=f(_)的定義域為i，如果對于定義域i內的某個區(qū)間d內的任意兩個自變量_1，_2，當_1

如果對于區(qū)間d上的任意兩個自變量的值_1，_2，當_1

注意：函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部性質；

（2） 圖象的特點

如果函數(shù)y=f(_)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3).函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法

(a) 定義法：

（1）任取_1，_2∈d，且_1

（2）作差f(_1)－f(_2)；或者做商

（3）變形（通常是因式分解和配方）；

（4）定號（即判斷差f(_1)－f(_2)的正負）；

（5）下結論（指出函數(shù)f(_)在給定的區(qū)間d上的單調性）．

(b)圖象法(從圖象上看升降)

(c)復合函數(shù)的單調性

復合函數(shù)f[g(_)]的單調性與構成它的函數(shù)u=g(_)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

8．函數(shù)的奇偶性（整體性質）

（1）偶函數(shù)：一般地，對于函數(shù)f(_)的定義域內的任意一個_，都有f(－_)=f(_)，那么f(_)就叫做偶函數(shù)．

（2）奇函數(shù)：一般地，對于函數(shù)f(_)的定義域內的任意一個_，都有f(－_)=—f(_)，那么f(_)就叫做奇函數(shù)．

（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱．

9.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；

○2確定f(－_)與f(_)的關系；

○3作出相應結論：若f(－_) = f(_) 或 f(－_)－f(_) = 0，則f(_)是偶函數(shù)；若f(－_) =－f(_) 或 f(－_)＋f(_) = 0，則f(_)是奇函數(shù)．

注意：函數(shù)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)／f(-_)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .

10、函數(shù)的解析表達式

（1）函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：1.湊配法2.待定系數(shù)法3.換元法4.消參法

11．函數(shù)（?。┲?/p>

○1 利用二次函數(shù)的性質（配方法）求函數(shù)的（小）值

○2 利用圖象求函數(shù)的（?。┲?/p>

○3 利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的（?。┲担?/p>

如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有值f(b)；

如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b)；

第三章 基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算

1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ _．

負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作 。

當 是奇數(shù)時， ，當 是偶數(shù)時，

2．分數(shù)指數(shù)冪

正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：

，

0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義

3．實數(shù)指數(shù)冪的運算性質

（1） · ；

（2） ；

（3） ．

（二）指數(shù)函數(shù)及其性質

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)，其中_是自變量，函數(shù)的定義域為r．

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1．

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質

a>1 0<1

定義域 r 定義域 r

值域y＞0 值域y＞0

在r上單調遞增 在r上單調遞減

非奇非偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都過定點（0，1） 函數(shù)圖象都過定點（0，1）

注意：利用函數(shù)的單調性，結合圖象還可以看出：

（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；

（2）若 ，則 ； 取遍所有正數(shù)當且僅當 ；

（3）對于指數(shù)函數(shù) ，總有 ；

二、對數(shù)函數(shù)

（一）對數(shù)

1．對數(shù)的概念：

一般地，如果 ，那么數(shù) 叫做以 為底 的對數(shù)，記作： （ — 底數(shù)， — 真數(shù)， — 對數(shù)式）

說明：○1 注意底數(shù)的限制 ，且 ；

○2 ；

○3 注意對數(shù)的書寫格式．

兩個重要對數(shù)：

○1 常用對數(shù)：以10為底的對數(shù) ；

○2 自然對數(shù)：以無理數(shù) 為底的對數(shù)的對數(shù) ．

指數(shù)式與對數(shù)式的互化

冪值 真數(shù)

＝ n ＝ b

底數(shù)

指數(shù) 對數(shù)

（二）對數(shù)的運算性質

如果 ，且 ， ， ，那么：

○1 · ＋ ；

○2 － ；

○3 ．

注意：換底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）．

利用換底公式推導下面的結論：（1） ；（2） ．

（3）、重要的公式 ①、負數(shù)與零沒有對數(shù)； ②、 ， ③、對數(shù)恒等式

（二）對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) ，且 叫做對數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．

注意：○1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如： ， 都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．

○2 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制： ，且 ．

2、對數(shù)函數(shù)的性質：

a>1 0<1

定義域_＞0 定義域_＞0

值域為r 值域為r

在r上遞增 在r上遞減

函數(shù)圖象都過定點（1，0） 函數(shù)圖象都過定點（1，0）

（三）冪函數(shù)

1、冪函數(shù)定義：一般地，形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 為常數(shù)．

2、冪函數(shù)性質歸納．

（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）；

（2） 時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間 上是增函數(shù)．特別地，當 時，冪函數(shù)的圖象下凸；當 時，冪函數(shù)的圖象上凸；

（3） 時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù)．在第一象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨于 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸．

第四章 函數(shù)的應用

一、方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù) ，把使 成立的實數(shù) 叫做函數(shù) 的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù) 的零點就是方程 實數(shù)根，亦即函數(shù) 的圖象與 軸交點的橫坐標。

即：方程 有實數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點 函數(shù) 有零點．

3、函數(shù)零點的求法：

○1 （代數(shù)法）求方程 的實數(shù)根；

○2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質找出零點．

4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù) ．

（1）△＞０，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點．

（2）△＝０，方程 有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點．

（3）△＜０，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點．

5.函數(shù)的模型

【第4篇 高一數(shù)學知識點總結（定理）

導語人生要敢于理解挑戰(zhàn)，經(jīng)受得起挑戰(zhàn)的人才能夠領悟人生非凡的真諦，才能夠實現(xiàn)自我無限的超越，才能夠創(chuàng)造魅力永恒的價值。以下是高一頻道為你整理的《高一數(shù)學知識點總結（定理）》，希望你不負時光，努力向前，加油！

1過兩點有且只有一條直線

2兩點之間線段最短

3同角或等角的補角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9同位角相等，兩直線平行

10內錯角相等，兩直線平行

11同旁內角互補，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13兩直線平行，內錯角相等

14兩直線平行，同旁內角互補

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內角和定理三角形三個內角的和等于180°

18推論1直角三角形的兩個銳角互余

19推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和

20推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角

21全等三角形的對應邊、對應角相等

22邊角邊公理(sas)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等

23角邊角公理(asa)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等

24推論(aas)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

25邊邊邊公理(sss)有三邊對應相等的兩個三角形全等

26斜邊、直角邊公理(hl)有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

27定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30等腰三角形的性質定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42定理1關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線44定理3兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關系a^2+b^2=c^2，那么這個三角形是直角三角形

48定理四邊形的內角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內角和定理n邊形的內角的和等于(n-2)×180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66菱形面積=對角線乘積的一半，即s=(a×b)÷2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

71定理1關于中心對稱的兩個圖形是全等的

72定理2關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分

73逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱

74等腰梯形性質定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75等腰梯形的兩條對角線相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

79推論1經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80推論2經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半l=(a+b)÷2s=l×h

83(1)比例的基本性質如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性質如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

85(3)等比性質如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例

88定理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊

89平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例

90定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對應相等，兩三角形相似(asa)

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似(sas)

94判定定理3三邊對應成比例，兩三角形相似(sss)

95定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似

96性質定理1相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比

97性質定理2相似三角形周長的比等于相似比

98性質定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值

101圓是定點的距離等于定長的點的集合

102圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

109定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111推論1①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等

116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

118推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

120定理圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角

121①直線l和⊙o相交d

②直線l和⊙o相切d=r

③直線l和⊙o相離d>r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123切線的性質定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

125推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

130相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的

兩條線段的比例中項

132切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割

線與圓交點的兩條線段長的比例中項

133推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

134如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

135①兩圓外離d>r+r②兩圓外切d=r+r

③兩圓相交r-rr)

④兩圓內切d=r-r(r>r)⑤兩圓內含dr)

136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137定理把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

138定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓

139正n邊形的每個內角都等于(n-2)×180°/n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

141正n邊形的面積sn=pnrn/2p表示正n邊形的周長

142正三角形面積√3a/4a表示邊長

143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為

360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4

144弧長計算公式：l=nπr/180

145扇形面積公式：s扇形=nπr2/360=lr/2

146內公切線長=d-(r-r)外公切線長=d-(r+r)

147等腰三角形的兩個底腳相等

148等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合

149如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等

150三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形

【第5篇 兩個平面的位置關系高一數(shù)學知識點總結

兩個平面的位置關系高一數(shù)學知識點總結

兩個平面的位置關系：

(1)兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點

(2)兩個平面的位置關系：

兩個平面平行-----沒有公共點;兩個平面相交-----有一條公共直線。

a、平行

兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。

b、相交

二面角(1)半平面：平面內的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。

(2)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的'圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0，180]

(3)二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.兩平面垂直兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記為

兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

兩個平面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

attention：

二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法(注意求出的角與所需要求的角之間的等補關系)

【第6篇 高一數(shù)學知識要點與公式總結

高一數(shù)學知識要點與公式總結

一、集合與簡易邏輯：

1)、 理解集合中的有關概念 (1)集合中元素的特征： 確定性 ， 互異性 ， 無序性 。

(2)集合與元素的關系用符號 ， 表示。

(3)常用數(shù)集的符號表示：自然數(shù)集 ;正整數(shù)集 、 ;整數(shù)集 ;有理數(shù)集 、實數(shù)集 。

(4)集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。

(5)空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

2)、 集合中元素的個數(shù)的計算： (1)若集合 中有 n個元素，則集合 的所有不同的子集個數(shù)為_________，所有真子集的個數(shù)是__________，所有非空真子集的個數(shù)是 。

3)、 若 ; 則 是 的充分非必要條件 ;

若 ; 則 是 的必要非充分條件 ;

若 ; 則 是 的充要條件 ;

若 ; 則 是 的既非充分又非必要條件 ;

4)、 原命題與逆否命題，否命題與逆命題具有相同的. ;

5)、 反證法：當證明“若 ，則 ”感到困難時，改證它的等價命題“若 則 ”成立，

步驟：1、假設結論反面成立;2、從這個假設出發(fā)，推理論證，得出矛盾;3、由矛盾判斷假設不成立，從而肯定結論正確。

矛盾的1、與原命題的條件矛盾;2、導出與假設相矛盾的命題;3、導出一個恒假命題。

適用與待證命題的結論涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼時。

正面詞語 等于 大于 小于 是 都是 至多有一個

否定

正面詞語 至少有一個 任意的 所有的 至多有n個 任意兩個

否定

二、函數(shù)

1)、映射與函數(shù)：

(1)映射的概念：

(2)一一映射：

(3)函數(shù)的概念：

2)、函數(shù)的三要素： ， ， 。

(1)函數(shù)解析式的求法： ①定義法(拼湊)：②換元法：③待定系數(shù)法：④賦值法：

(2)函數(shù)定義域的求法： 含參問題的定義域要分類討論; 對于實際問題，在求出函數(shù)解析式后;必須求出其定義域，此時的定義域要根據(jù)實際意義來確定。

(3)函數(shù)值域的求法： ①配方法：轉化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值;②逆求法(反求法)：通過反解，用y來表示_，再由_的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍;④換元法：通過變量代換轉化為能求值域的函數(shù)，化歸思想;⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域;⑥基本不等式法：利用平均值不等式公式來求值域;⑦單調性法：函數(shù)為單調函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調性求值域。⑧數(shù)形結合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結合的方法來求值域。

3)、函數(shù)的性質： 函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性

單調性：定義：注意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言。

判定方法有：定義法(作差比較和作商比較) 導數(shù)法(適用于多項式函數(shù)) 復合函數(shù)法和圖像法。

應用：比較大小，證明不等式，解不等式。

奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關于原點對稱，比較f(_) 與f(-_)的關系。f(_) -f(-_)=0 f(_) =f(-_) f(_)為偶函數(shù); f(_)+f(-_)=0 f(_) =-f(-_) f(_)為奇函數(shù)。

判別方法：定義法， 圖像法 ，復合函數(shù)法 應用：把函數(shù)值進行轉化求解。

周期性：定義：若函數(shù)f(_)對定義域內的任意_滿足：f(_+t)=f(_),則t為函數(shù)f(_)的周期。

其他：若函數(shù)f(_)對定義域內的任意_滿足：f(_+a)=f(_-a),則2a為函數(shù)f(_)的周期.

應用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。

4)、圖形變換：函數(shù)圖像變換：(重點)要求掌握常見基本函數(shù)的圖像，掌握函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律。

常見圖像變化規(guī)律：(注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯(lián)系起來思考)

平移變換 y=f(_)→y=f(_+a),y=f(_)+b

注意：(?)有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)y=f(2_)經(jīng)過 平移得到函數(shù)y=f(2_+4)的圖象。

(?)會結合向量的平移，理解按照向量 (m，n)平移的意義。

對稱變換 y=f(_)→y=f(-_),關于y軸對稱

y=f(_)→y=-f(_) ,關于_軸對稱

y=f(_)→y=f_,把_軸上方的圖象保留，_軸下方的圖象關于_軸對稱

y=f(_)→y=f(_)把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關于y軸對稱。(注意：它是一個偶函數(shù))

伸縮變換：y=f(_)→y=f(ω_),

y=f(_)→y=af(ω_+φ)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。

5)、反函數(shù)：

(1)定義：

(2)函數(shù)存在反函數(shù)的條件： ;

(3)互為反函數(shù)的定義域與值域的關系： ;

(4)求反函數(shù)的步驟：①將 看成關于 的方程，解出 ，若有兩解，要注意解的選擇;②將 互換，得 ;③寫出反函數(shù)的定義域(即 的值域)。

(5)互為反函數(shù)的圖象間的關系：

(6)原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調性;

(7)原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù);原函數(shù)為偶函數(shù)，它一定不存在反函數(shù)。

三、數(shù)列

本章是高考命題的主體內容之一，應切實進行全面、深入地復習，并在此基礎上，突出解決下述幾個問題：(1)等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數(shù)列的前 項和 ，則其通項為 若 滿足 則通項公式可寫成 .(2)數(shù)列計算是本章的中心內容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、前 項和公式及其性質熟練地進行計算，是高考命題重點考查的內容.(3)解答有關數(shù)列問題時，經(jīng)常要運用各種數(shù)學思想.善于使用各種數(shù)學思想解答數(shù)列題，是我們復習應達到的目標. ①函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項公式求和公式都可以看作是 的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問題可以化為函數(shù)問題求解.

②分類討論思想：用等比數(shù)列求和公式應分為 及 ;已知 求 時，也要進行分類;

③整體思想：在解數(shù)列問題時，應注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整

體思想求解.

(4)在解答有關的數(shù)列應用題時，要認真地進行分析，將實際問題抽象化，轉化為數(shù)學問題，再利用有關數(shù)列知識和方法來解決.解答此類應用題是數(shù)學能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關的等比數(shù)列的第幾項不要弄錯.

1)、基本概念：

1、 數(shù)列的定義及表示方法：

2、 數(shù)列的項與項數(shù)：

3、 有窮數(shù)列與無窮數(shù)列：

4、 遞增(減)、擺動、循環(huán)數(shù)列：

5、 數(shù)列{an}的通項公式an：

6、 數(shù)列的前n項和公式sn:

7、 等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結構：

三角形面積公式

由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形。 平面上三條直線或球面上三條弧線所圍成的圖形。 三條直線所圍成的圖形叫平面三角形；三條弧線所圍成的圖形叫球面三角形，也叫三邊形。

面積公式：

（1）s＝ah/2

(2).已知三角形三邊a,b,c，則 （海倫公式）（p=(a+b+c)/2）

s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

(3).已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角c，則s＝1/2 _ absinc

(4).設三角形三邊分別為a、b、c，內切圓半徑為r

s=(a+b+c)r/2

(5).設三角形三邊分別為a、b、c，外接圓半徑為r

s=abc/4r

(6).根據(jù)三角函數(shù)求面積：

s= absinc/2 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r

注:其中r為外切圓半徑。

【第7篇 高一數(shù)學知識點總結:函數(shù)的有關概念

函數(shù)的有關概念

1．函數(shù)的概念：設a、b是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合a中的任意一個數(shù)_，在集合b中都有確定的數(shù)f(_)和它對應，那么就稱f：a→b為從集合a到集合b的一個函數(shù)．記作： y=f(_)，_∈a．其中，_叫做自變量，_的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與_的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(_)| _∈a }叫做函數(shù)的值域．

注意：

1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)_的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的_的值組成的集合.

(6)指數(shù)為零底不可以等于零，

(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

?相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關）；②定義域一致 (兩點必須同時具備)

(見課本21頁相關例2)

2．值域 : 先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

(3)代換法

3. 函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù) y=f(_) , (_∈a)中的_為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點p(_，y)的集合c，叫做函數(shù) y=f(_),(_ ∈a)的圖象．c上每一點的坐標(_，y)均滿足函數(shù)關系y=f(_)，反過來，以滿足y=f(_)的每一組有序實數(shù)對_、y為坐標的點(_，y)，均在c上 .

(2) 畫法

a、描點法：

b、圖象變換法

常用變換方法有三種

1)平移變換

2)伸縮變換

3)對稱變換

4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

（2）無窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．

5．映射

一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合a中的任意一個元素_，在集合b中都有確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：a b為從集合a到集合b的一個映射。記作“f（對應關系）：a（原象） b（象）”

對于映射f：a→b來說，則應滿足：

(1)集合a中的每一個元素，在集合b中都有象，并且象是的；

(2)集合a中不同的元素，在集合b中對應的象可以是同一個；

(3)不要求集合b中的每一個元素在集合a中都有原象。

6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．

補充：復合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈m),u=g(_)(_∈a),則 y=f[g(_)]=f(_)(_∈a) 稱為f、g的復合函數(shù)。

二．函數(shù)的性質

1.函數(shù)的單調性(局部性質)

（1）增函數(shù)

設函數(shù)y=f(_)的定義域為i，如果對于定義域i內的某個區(qū)間d內的任意兩個自變量_1，_2，當_1

如果對于區(qū)間d上的任意兩個自變量的值_1，_2，當_1

注意：函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部性質；

（2） 圖象的特點

如果函數(shù)y=f(_)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(_)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3).函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法

(a) 定義法：

1 任取_1，_2∈d，且_1

2 作差f(_1)－f(_2)；

3 變形（通常是因式分解和配方）；

4 定號（即判斷差f(_1)－f(_2)的正負）；

5 下結論（指出函數(shù)f(_)在給定的區(qū)間d上的單調性）．

(b)圖象法(從圖象上看升降)

(c)復合函數(shù)的單調性

復合函數(shù)f[g(_)]的單調性與構成它的函數(shù)u=g(_)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

8．函數(shù)的奇偶性（整體性質）

（1）偶函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(_)的定義域內的任意一個_，都有f(－_)=f(_)，那么f(_)就叫做偶函數(shù)．

（2）．奇函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(_)的定義域內的任意一個_，都有f(－_)=—f(_)，那么f(_)就叫做奇函數(shù)．

（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱．

利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；

○2確定f(－_)與f(_)的關系；

○3作出相應結論：若f(－_) = f(_) 或 f(－_)－f(_) = 0，則f(_)是偶函數(shù)；若f(－_) =－f(_) 或 f(－_)＋f(_) = 0，則f(_)是奇函數(shù)．

注意：函數(shù)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-_)±f(_)=0或f(_)／f(-_)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .

9、函數(shù)的解析表達式

（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：

1)湊配法

2)待定系數(shù)法

3)換元法

4)消參法

10．函數(shù)（?。┲担ǘx見課本p36頁）

1 利用二次函數(shù)的性質（配方法）求函數(shù)的（?。┲?/p>

2 利用圖象求函數(shù)的（?。┲?/p>

3 利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的（小）值：

如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數(shù)y=f(_)在_=b處有值f(b)；

如果函數(shù)y=f(_)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數(shù)y=f(_)在_=b處有最小值f(b)；

【第8篇 高一數(shù)學知識點歸納總結

導語高一新生要作好充分思想準備，以自信、寬容的心態(tài)，盡快融入集體，適應新同學、適應新校園環(huán)境、適應與初中迥異的紀律制度。記?。菏悄阒鲃拥剡m應環(huán)境，而不是環(huán)境適應你。因為你走向社會參加工作也得適應社會。以下內容是為你整理的《高一數(shù)學知識點歸納總結》，希望你不負時光，努力向前，加油！

1.高一數(shù)學知識點歸納總結

定義：

從平面解析幾何的角度來看，平面上的直線就是由平面直角坐標系中的一個二元一次方程所表示的圖形。求兩條直線的交點，只需把這兩個二元一次方程聯(lián)立求解，當這個聯(lián)立方程組無解時，兩直線平行;有無窮多解時，兩直線重合;只有一解時，兩直線相交于一點。常用直線向上方向與_軸正向的夾角(叫直線的傾斜角)或該角的正切(稱直線的斜率)來表示平面上直線(對于_軸)的傾斜程度。可以通過斜率來判斷兩條直線是否互相平行或互相垂直，也可計算它們的交角。直線與某個坐標軸的交點在該坐標軸上的坐標，稱為直線在該坐標軸上的截距。直線在平面上的位置，由它的斜率和一個截距完全確定。在空間，兩個平面相交時，交線為一條直線。因此，在空間直角坐標系中，用兩個表示平面的三元一次方程聯(lián)立，作為它們相交所得直線的方程。

表達式：

斜截式:y=k_+b

兩點式:(y-y1)/(y1-y2)=(_-_1)/(_1-_2)

點斜式:y-y1=k(_-_1)

截距式:(_/a)+(y/b)=0

補充一下：最基本的標準方程不要忘了,a_+by+c=0,

因為,上面的四種直線方程不包含斜率k不存在的情況,如_=3,這條直線就不能用上面的四種形式表示,解題過程中尤其要注意,k不存在的情況。

2.高一數(shù)學知識點歸納總結

(1)指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。

(2)指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。

(3)函數(shù)圖形都是下凹的。

(4)a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調遞增;a小于1大于0，則為單調遞減的。

(5)可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0)，函數(shù)的曲線從分別接近于y軸與_軸的正半軸的單調遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于y軸的正半軸與_軸的負半軸的單調遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

(6)函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于_軸，永不相交。

(7)函數(shù)總是通過(0，1)這點。

(8)顯然指數(shù)函數(shù)__。

3.高一數(shù)學知識點歸納總結

定義：

形如y=_^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

定義域和值域：

當a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果a為負數(shù)，則_肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則_不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當_為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在_大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。在_小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域

性質：

對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則_^(p/q)=q次根號(_的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是r，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當指數(shù)n是負整數(shù)時，設a=-k，則_=1/(_^k)，顯然_≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到_所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負數(shù)兩種可能，即對于_>0，則a可以是任意實數(shù);

排除了為0這種可能，即對于_<0和_>0的所有實數(shù)，q不能是偶數(shù);

排除了為負數(shù)這種可能，即對于_為大于且等于0的所有實數(shù)，a就不能是負數(shù)。

4.高一數(shù)學知識點歸納總結

1.函數(shù)的奇偶性

(1)若f(_)是偶函數(shù)，那么f(_)=f(-_);

(2)若f(_)是奇函數(shù)，0在其定義域內，則f(0)=0(可用于求參數(shù));

(3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式：f(_)±f(-_)=0或(f(_)≠0);

(4)若所給函數(shù)的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;

(5)奇函數(shù)在對稱的單調區(qū)間內有相同的單調性;偶函數(shù)在對稱的單調區(qū)間內有相反的單調性;

2.復合函數(shù)的有關問題

(1)復合函數(shù)定義域求法：若已知的定義域為[a，b],其復合函數(shù)f[g(_)]的定義域由不等式a≤g(_)≤b解出即可;若已知f[g(_)]的定義域為[a,b],求f(_)的定義域，相當于_∈[a,b]時，求g(_)的值域(即f(_)的定義域);研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。

(2)復合函數(shù)的單調性由“同增異減”判定;

3.函數(shù)圖像(或方程曲線的對稱性)

(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;

(2)證明圖像c1與c2的對稱性，即證明c1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在c2上，反之亦然;

(3)曲線c1：f(_,y)=0,關于y=_+a(y=-_+a)的對稱曲線c2的方程為f(y-a,_+a)=0(或f(-y+a,-_+a)=0);

(4)曲線c1:f(_,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線c2方程為：f(2a-_,2b-y)=0;

(5)若函數(shù)y=f(_)對_∈r時，f(a+_)=f(a-_)恒成立，則y=f(_)圖像關于直線_=a對稱;

(6)函數(shù)y=f(_-a)與y=f(b-_)的圖像關于直線_=對稱;

4.函數(shù)的周期性

(1)y=f(_)對_∈r時，f(_+a)=f(_-a)或f(_-2a)=f(_)(a>0)恒成立,則y=f(_)是周期為2a的周期函數(shù);

(2)若y=f(_)是偶函數(shù)，其圖像又關于直線_=a對稱，則f(_)是周期為2|a|的周期函數(shù);

(3)若y=f(_)奇函數(shù)，其圖像又關于直線_=a對稱，則f(_)是周期為4|a|的周期函數(shù);

(4)若y=f(_)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(_)是周期為2的周期函數(shù);

(5)y=f(_)的圖象關于直線_=a,_=b(a≠b)對稱，則函數(shù)y=f(_)是周期為2的周期函數(shù);

(6)y=f(_)對_∈r時，f(_+a)=-f(_)(或f(_+a)=，則y=f(_)是周期為2的周期函數(shù);

5.方程k=f(_)有解k∈d(d為f(_)的值域);

a≥f(_)恒成立a≥[f(_)]ma_,;a≤f(_)恒成立a≤[f(_)]min;

(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈r+);

(2)logan=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符號由口訣“同正異負”記憶;

(4)alogan=n(a>0,a≠1,n>0);

6.判斷對應是否為映射時，抓住兩點：

(1)a中元素必須都有象且;

(2)b中元素不一定都有原象，并且a中不同元素在b中可以有相同的象;

7.能熟練地用定義證明函數(shù)的單調性，求反函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性。

8.對于反函數(shù)，應掌握以下一些結論：

(1)定義域上的單調函數(shù)必有反函數(shù);

(2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù);

(3)定義域為非單元素集的偶函數(shù)不存在反函數(shù);

(4)周期函數(shù)不存在反函數(shù);

(5)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調性;

(6)y=f(_)與y=f-1(_)互為反函數(shù)，設f(_)的定義域為a，值域為b，則有f[f--1(_)]=_(_∈b),f--1[f(_)]=_(_∈a);

9.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結合

二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系;

10.依據(jù)單調性

利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題;

5.高一數(shù)學知識點歸納總結

(1)直線的傾斜角

定義：_軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與_軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°

(2)直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。

②過兩點的直線的斜率公式：

注意下面四點：

(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°;

(2)k與p1、p2的順序無關;

(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得;

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。

【第9篇 蘇教版高一數(shù)學知識點總結

學習目標

1．了解曲線的方程的概念；

2.通過具體實例研究，掌握求曲線方程的一般步驟；

3.能根據(jù)曲線方程的概念解決一些簡單問題.

一、預習檢查

1．觀察下表中的方程與曲線，說明它們有怎樣的關系:

序號方程曲線

1

2．條件甲：曲線是方程的曲線．條件乙：曲線上點的坐標都是方程的解．甲是乙的什么條件？

3．長為的線段的兩端點分別在互相垂直的兩條直線上滑動，求線段的中點的軌跡．

４．求平面內到兩定點的距離之比等于２的動點的軌跡方程．

二、問題探究

探究1．我們已經(jīng)建立了直線的方程，圓的方程及圓錐曲線的方程．那么，對于一般的曲線，曲線的方程的含義是什么？

探究2．回憶建立橢圓，雙曲線，拋物線方程的過程，寫出求曲線方程的一般步驟；

例1．（１）動點滿足關系式：，試解釋關系式的幾何意義并求動點的軌跡方程．

（２）試畫出所表示的曲線．

例２．已知△一邊的兩個端點是和，另兩邊所在直線的斜率之積是，求頂點的軌跡方程．

例3．（理科）設直線與雙曲線交于兩點，且以為直徑的圓過原點，求點的軌跡方程．

三、思維訓練

1．一個動點p在圓上移動時，它與定點m連線中點的軌跡方程是．

2．在直角坐標系中，，則點的軌跡方程是．

3．點是以為焦點的橢圓上一點，過焦點作∠的外角平分線的垂線，垂足為，點的軌跡是．

4．一動圓與定圓相切，且該動圓過定點．

（１）求動圓圓心的軌跡的方程；

（２）過點的直線與軌跡交于不同的兩點，

求的取值范圍．

四、課后鞏固

1．已知點在以原點為圓心的單位圓上運動，則點的軌跡是．

2．坐標平面上有兩個定點和動點，如果直線的斜率之積為定值，則點的軌跡可能是：①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤直線．

試將正確的序號填在直線上．

3．設定點是拋物線上的任意一點，定點，，則點的軌跡方程是．

4．求焦點在軸上，焦距是４，且經(jīng)過點的橢圓的標準方程．

5．（理科）已知直角坐標平面上點和圓：，動點到圓的切線長與的比等于常數(shù)，求動點的軌跡．

【第10篇 人教版高一數(shù)學知識點總結

導語我們最孤獨的，不是缺少知己，而是在心途中迷失了自己，忘了來時的方向與去時的路;我們最痛苦的，不是失去了曾經(jīng)的珍愛，而是靈魂中少了一方寧靜的空間，慢慢在浮躁中遺棄了那些寶貴的精神;我們最需要的，不是別人的憐憫或關懷，而是一種頑強不屈的自助。你若不愛自己，沒誰可以幫你。高一頻道為你正在奮斗的你整理了《人教版高一數(shù)學知識點總結》希望可以幫到你！

指數(shù)函數(shù)

(1)指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。

(2)指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。

(3)函數(shù)圖形都是下凹的。

(4)a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調遞增;a小于1大于0，則為單調遞減的。

(5)可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0)，函數(shù)的曲線從分別接近于y軸與_軸的正半軸的單調遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于y軸的正半軸與_軸的負半軸的單調遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

(6)函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于_軸，永不相交。

(7)函數(shù)總是通過(0，1)這點。

(8)顯然指數(shù)函數(shù)_。

奇偶性

定義

一般地，對于函數(shù)f(_)

(1)如果對于函數(shù)定義域內的任意一個_，都有f(-_)=-f(_)，那么函數(shù)f(_)就叫做奇函數(shù)。

(2)如果對于函數(shù)定義域內的任意一個_，都有f(-_)=f(_)，那么函數(shù)f(_)就叫做偶函數(shù)。

(3)如果對于函數(shù)定義域內的任意一個_，f(-_)=-f(_)與f(-_)=f(_)同時成立，那么函數(shù)f(_)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱為既奇又偶函數(shù)。

(4)如果對于函數(shù)定義域內的任意一個_，f(-_)=-f(_)與f(-_)=f(_)都不能成立，那么函數(shù)f(_)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。

立體幾何初步

1、柱、錐、臺、球的結構特征

(1)棱柱：

定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱。

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐

幾何特征：側面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺：

定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點

(4)圓柱：

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一個矩形。

(5)圓錐：

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形。

(6)圓臺：

定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓;②側面母線交于原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形。

(7)球體：

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度;

側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

斜二測畫法特點：

①原來與_軸平行的線段仍然與_平行且長度不變;

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

直線與方程

(1)直線的傾斜角

定義：_軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與_軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°

(2)直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當時，。當時，;當時，不存在。

②過兩點的直線的斜率公式：

注意下面四點：

(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°;

(2)k與p1、p2的順序無關;

(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得;

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。

冪函數(shù)

定義：

形如y=_^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

定義域和值域：

當a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果a為負數(shù)，則_肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則_不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當_為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在_大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。在_小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域

性質：

對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則_^(p/q)=q次根號(_的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是r，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當指數(shù)n是負整數(shù)時，設a=-k，則_=1/(_^k)，顯然_≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到_所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負數(shù)兩種可能，即對于_>0，則a可以是任意實數(shù);

排除了為0這種可能，即對于_<0和_>0的所有實數(shù)，q不能是偶數(shù);

排除了為負數(shù)這種可能，即對于_為大于且等于0的所有實數(shù)，a就不能是負數(shù)。

【第11篇 立體幾何高一數(shù)學知識點總結

立體幾何高一數(shù)學知識點總結

1、柱、錐、臺、球的結構特征

(1)棱柱：

定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱。

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的.幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐

幾何特征：側面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺：

定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點

(4)圓柱：

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一個矩形。

(5)圓錐：

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體。

幾何特征：①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形。

(6)圓臺：

定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓;②側面母線交于原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形。

(7)球體：

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度;

側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

斜二測畫法特點：

①原來與_軸平行的線段仍然與_平行且長度不變;

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

【第12篇 高一數(shù)學知識點總結

高一數(shù)學知識點總結

一、集合有關概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

(1)元素的確定性如：世界上最高的山

(2)元素的互異性如：由happy的字母組成的集合{h,a,p,y}

(3)元素的無序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1) 用拉丁字母表示集合：a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}

(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數(shù)集及其記法：

非負整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：n

正整數(shù)集 n_或 n+ 整數(shù)集z 有理數(shù)集q 實數(shù)集r

1)列舉法：{a,b,c……}

2) 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的'方法。{_r| _-3>;2} ,{_| _-3>;2}

3)語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)venn圖:

4、集合的分類：

有限集 含有有限個元素的集合

無限集 含有無限個元素的集合

空集 不含任何元素的集合 例：{_|_2=－5｝

二、集合間的基本關系

1.“包含”關系—子集

注意：有兩種可能（1）a是b的一部分，；（2）a與b是同一集合。

反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba

2．“相等”關系：a=b (5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設 a={_|_2-1=0} b={-1,1} “元素相同則兩集合相等”

即：① 任何一個集合是它本身的子集。aa

②真子集:如果ab,且a b那就說集合a是集合b的真子集，記作ab(或ba)

③如果 ab, bc ,那么 ac

④ 如果ab 同時 ba 那么a=b

3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為φ

規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集

【第13篇 函數(shù)定義域函數(shù)值域高一數(shù)學知識點總結

函數(shù)定義域 函數(shù)值域高一數(shù)學知識點總結

(高中函數(shù)定義)設a，b是兩個非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合a中的任意一個數(shù)_，在集合b中都有唯一確定的數(shù)f(_)和它對應，那么就稱f：a--b為集合a到集合b的一個函數(shù)，記作y=f(_)，_屬于集合a。其中，_叫作自變量，_的取值范圍a叫作函數(shù)的定義域;

值域

名稱定義

函數(shù)中，應變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的值域函數(shù)的值域，在數(shù)學中是函數(shù)在定義域中應變量所有值的集合

常用的求值域的方法

(1)化歸法;(2)圖象法(數(shù)形結合);(3)函數(shù)單調性法;(4)配方法;(5)換元法;(6)反函數(shù)法(逆求法);(7)判別式法;(8)復合函數(shù)法;(9)三角代換法;(10)基本不等式法等

關于函數(shù)值域誤區(qū)

定義域、對應法則、值域是函數(shù)構造的三個基本元件。平時數(shù)學中，實行定義域優(yōu)先的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手硬一手軟，使學生對函數(shù)的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當?shù)?，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處于互相轉化之中(典型的例子是互為反函數(shù)定義域與值域的相互轉化)。如果函數(shù)的值域是無限集的話，那么求函數(shù)值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時并不能奏效，還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的'取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內函的理解，從而深化對函數(shù)本質的認識。

范圍與值域相同嗎?

范圍與值域是我們在學習中經(jīng)常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。值域是所有函數(shù)值的集合(即集合中每一個元素都是這個函數(shù)的取值)，而范圍則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說：值域是一個范圍，而范圍卻不一定是值域。

以上就是由數(shù)學網(wǎng)為您提供的高一數(shù)學知識點總結：函數(shù)定義域 函數(shù)值域，希望給您帶來幫助!

【第14篇 高一數(shù)學知識點冪函數(shù)的總結

高一數(shù)學知識點關于冪函數(shù)的總結

冪函數(shù)定義：

形如y=_^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

定義域和值域：

當a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果a為負數(shù)，則_肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則_不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當_為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在_大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。在_小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域。

性質：

對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則_^(p/q)=q次根號(_的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是r，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當指數(shù)n是負整數(shù)時，設a=-k，則_=1/(_^k)，顯然_≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到_所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù)，那么我們就可以知道：

排除了為0與負數(shù)兩種可能，即對于_>;0，則a可以是任意實數(shù);

排除了為0這種可能，即對于_<0和_>;0的所有實數(shù)，q不能是偶數(shù);

排除了為負數(shù)這種可能，即對于_為大于且等于0的所有實數(shù)，a就不能是負數(shù)。

總結起來，就可以得到當a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);

如果a為負數(shù)，則_肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則_不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。

在_大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。

在_小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。

而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域。

由于_大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況。

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。

(2)當a大于0時，冪函數(shù)為單調遞增的，而a小于0時，冪函數(shù)為單調遞減函數(shù)。

(3)當a大于1時，冪函數(shù)圖形下凹;當a小于1大于0時，冪函數(shù)圖形上凸。

(4)當a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大于0，函數(shù)過(0，0);a小于0，函數(shù)不過(0，0)點。

(6)顯然冪函數(shù)無界。

趣談平分

把餅那樣的物體分成2等份，可以采用一個人切而讓另一個人挑的辦法，這樣分的優(yōu)點是很明顯的。在第一個人看來，他必須把餅分成他認為價值相等的兩部分，才能保證得到他應得的那一部分；而第二個人只要選取價值大的那一部分，或在兩部分價值相等的情況下任選其中一部分，就能保證他得到他至少應得的那一部分。在這里，我們假定物體具有在分割時不會損失它的總價值。

若要把一個物體分成3或若干等份，我們可以采用這樣的方法：這里以5個人分配來說明，對于任意多個分配者，分法大致是相同的。我們把這5個人叫做甲、乙、丙、丁、戊。甲有權利從餅上割下任一部分；乙有把甲所割出的一塊減少的自由，但沒有人強迫他這樣做；然后丙又有減少這一塊的自由，這樣繼續(xù)下去。假定最后是戊接觸這塊餅，那么由戊拿走這塊餅，然后把剩余的餅在甲乙丙丁四人之間平分。第二輪可一用同樣的步驟把參加的人數(shù)減少到三，以此分配下去。現(xiàn)在我們來看，每一個參加分配的`人應如何做才能保證自己應得的那一部分歸自己。在第一輪甲割下它認為值1/5的一塊后，很可能沒有人再去碰它而甲就達到值1/5的那一部分；在這種情況下，他沒有做錯。然而，如果有另一個或幾個人減少了這塊餅，那么最后接觸到他的人就要得到它，所以甲當然認為價值超過/5的餅被留下由4個人平分，而他是這4個人中的一個。在第二輪甲照前面的辦：如果他仍就是第一個，那么他割下認為有余下部分1/4價值的那一塊。這個策略還不完全，我們還應指出一個分配者在他不是第一時應怎樣做。假定乙認為甲所個下的部分太大，也就是比他估計的整個餅的1/5大了，那么他只要把它減少到他認為適當?shù)拇笮。蝗绻蔀樽詈笠粋€減少這部分餅的人，他就得到了它，而且并沒有做錯，如果他沒有得到它，那是因為在乙以后又有別的人接觸了它。因而在乙以后的減小者中有一人要得到被乙認為是價值小于1/5的一塊餅，所以乙在下一輪將參加分配他認為價值大于原來4/5的部分?，F(xiàn)在方法就清楚了：如果你在任一輪中是n個分配者的第一個，那么不論放在你面前的是整個餅還是余下的部分，你總應該割下你認為價值時這部分餅的1/n的一塊；如果你在這一輪中不是第一個，而且你看到由別人割下的一塊比你估計的那部分餅的1/n大，那你就把它減小到1/n；如果割下的你估計的那部分餅的1/n小，那你就不要動它。這個方法保證每一個人得到他認為是應得的部分。 高中地理

在經(jīng)濟生活中，存在著另一種分配問題：分配的是不能分割的物體，如房子、家畜、家具、汽車、藝術品等。例如一筆遺產，包括：一座房子、一座磨坊和一輛汽車，要在享有同等繼承權的四個繼承人甲乙丙丁之間分配，需要一個公正人，請讀者想一想，應如何去做？

高中數(shù)學再次梳理知識

1、再次梳理知識，及時查漏補缺

這階段，許多考生備考狀況是雜亂無章，沒有頭緒，心中無底，忐忑不安，效率低下。其實最需做的仍是梳理知識網(wǎng)，查漏補缺。一般來說，在梳理過程中難免會遇到不是很明白的地方，這時需翻書對照，防止概念錯誤。另外，要進行重要和典型問題的解題方法的歸納，只有這樣才能以不變應萬變，這里要注意各種方法的適用范圍，防止只是形式的簡單套用導致原理錯誤，比如在做數(shù)列問題時不要簡單套用連續(xù)函數(shù)的性質，注意離散和連續(xù)函數(shù)的區(qū)別。

2、適量模擬練習，保持臨考狀態(tài)

考前50天一定要有針對性進行套卷訓練，一是通過模擬可以查漏補缺，二是提高應試能力，包括答題技巧，心理調節(jié)。建議大家練幾套有標準答案和評分標準的模擬卷(包括近幾年高考卷)，并且自批自改，在模擬練習時一定要了解評分標準，對照評分標準自我修正，提高得分的機會，力爭減少無謂的失分，保證會做的不錯不扣分，即使不完全會做，也應理解多少做多少，增加得分機會。

3、全科規(guī)劃意識，突破偏文學科

沖刺階段，一定要有全科規(guī)劃意識，高考是看總分的，不管是強勢學科還是弱勢學科都要有相應的時間分配計劃，做到重點學科重點突破。實踐表明后期在記憶性學科上多下功夫，會立竿見影，象語文，英語，文綜，生物等，考生應向這些學科適當傾斜。但是思維性強的學科，如數(shù)學，物理，若幾天不做會上手慢，出錯率高，因此在后期也應該安排一定的時間去做去練，保持一個良好的臨考狀態(tài)。

4、調整心理狀態(tài)，爭取笑到最后

高考臨近，有些考生精神過度緊張，甚至病倒。因此提醒大家，防止兩個極端的做法，一是徹底放松，破壞了長期形成的生物鐘，會適得其反。另一個就是挑燈夜戰(zhàn)，加班加點，導致考前過度疲勞，臨考時打不起精神。建議考生，休息調整是必要的，但必須的是微調，特別要把興奮狀態(tài)逐步調整到上午9：00——11：30，下午3：00——5：00。高考前還要注意飲食的科學性和規(guī)律性，不能大吃大喝，宜清淡又要保證全面營養(yǎng)，總之，生活有節(jié)奏，亦張亦弛，保持心態(tài)平穩(wěn)。同時考前保持必勝的信心是非常必要的，走進考場要信心百倍，即使遇到困難也不要慌張，自我暗示，及時調整，只要大家精心準備，充滿自信，沉著應戰(zhàn)，就一定能笑到最后!

三角函數(shù)的性質及三角恒等變形

一. 本周教學內容：三角函數(shù)的性質及三角恒等變形

考點梳理

一、本章內容

1. 角的概念的推廣，弧度制．

2. 任意角的三角函數(shù)、單位圓中的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的基本關系、正弦、余弦的誘導公式．

3. 兩角和與差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切．

4. 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質、周期函數(shù)、函數(shù)y=asin（ω_ ）的圖像、正切函數(shù)的圖像和性質、已知三角函數(shù)值求角．

5. 余弦定理、正弦定理．利用余弦定理、正弦定理解斜三角形．

二、本章考試要求

1. 理解任意角的概念、弧度制的意義，并能正確地進行弧度和角度的換算．

2. 掌握任意角的三角函數(shù)的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關系，掌握正弦、余弦的誘導公式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義，了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的意義．

3. 掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

4. 能正確地運用三角公式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明．

5. 了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y= asin（ω_ ）的簡圖，理解a、ω、 的意義．

6. 會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號

命題研究

分析近五年的全國，有關三角函數(shù)的內容平均每年有25分，約占17%．的內容主要有兩方面；其一是考查三角函數(shù)的性質和圖象變換；尤其是三角函數(shù)的最大值、最小值和周期，題型多為選擇題和填空題；其二是考查三角函數(shù)式的恒等變形，如利用有關公式求值，解決簡單的綜合問題，除了在填空題和選擇題中出現(xiàn)外，解答題的中檔題也經(jīng)常出現(xiàn)這方面的內容，是命題的一個?？嫉幕A性的題型．其命題熱點是章節(jié)內部的三角函數(shù)求值問題，命題新趨勢是跨章節(jié)的學科綜合問題．的走勢，體現(xiàn)了新課標的理念，突出了對創(chuàng)新的考查．

如：福建卷的第17題設函數(shù) ，

（2）若函數(shù) 的圖象按向量 平移后得到函數(shù) 的圖象，求實數(shù) 的值．此題“重視拓寬，開辟新領域”，將三角與向量交匯．

策略

三角函數(shù)是傳統(tǒng)知識內容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內容時有明顯的降調傾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函數(shù)的主體地位，加強了對三角函數(shù)的圖象與性質的考查，因此三角函數(shù)的性質是本章復習的重點．第一輪復習的重點應放在課本知識的重現(xiàn)上，要注重抓基本知識點的落實、基本的再認識和基本技能的掌握，力求系統(tǒng)化、條理化和網(wǎng)絡化，使之形成比較完整的知識體系；第二、三輪復習以基本綜合檢測題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度．當然，這一部分知識最可能出現(xiàn)的是“結合實際，利用少許的三角變換（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應用）來考查三角函數(shù)性質”的命題，難度以靈活掌握倍角的余弦公式的變式運用為宜．由于三角函數(shù)解答題是基礎題、常規(guī)題，屬于容易題的范疇，因此，建議三角函數(shù)的復習應控制在課本知識的范圍和難度上，這樣就能夠適應未來高考命題趨勢．總之，三角函數(shù)的復習應立足基礎、加強訓練、綜合應用、提高能力．

解答三角函數(shù)高考題的一般策略：

（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”．

（2）尋找聯(lián)系：運用相關三角公式，找出差異之間的內在聯(lián)系．

（3）合理轉化：選擇恰當?shù)娜枪?，促使差異的轉化．

三角函數(shù)恒等變形的基本策略：

（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2θ sin2θ=tan_?cot_=tan45°等．

（2）項的分拆與角的配湊．如分拆項：sin2_ 2cos2_=（sin2_ cos2_） cos2_=1 cos2_；配湊角：α=（α β）－β，β= － 等．

（3）降次，即二倍角公式降次．

（4）化弦（切）法．將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關系化成弦（切）．

（5）引入輔助角．asinθ bcosθ= sin（θ ），這里輔助角 所在象限由a、b的符號確定， 角的值由tan = 確定．

典型例題分析與解答

例1、

解法二：（從“名”入手，異名化同名）

的圖像過點 ，且 的最大值為 的解析式；（2）由函數(shù) 圖像經(jīng)過平移是否能得到一個奇函數(shù)解析：（1） ，解得 ，

所以 ，將 的圖像，再向右平移 單位得到 的圖像先向上平移1個單位，再向右平移 單位就可以得到奇函數(shù)點評：本題考查的是三角函數(shù)的圖象和性質等基礎知識，這是高考命題的重點內容，應于以重視．

例3、為使方程 內有解，則 的取值范圍是（ ）

分析一：由方程形式，可把該方程采取換元法，轉化為二次函數(shù)：設sin_=t，則原方程化為 ，于是問題轉化為：若關于 的一元二次方程 上有解，求 的取值范圍，解法如下：

分析二： 上的值域．

解法如下：

點評：換元法或方程思想也是高考考查的重點，尤其是計算型試題．

例4、已知向量 的值．

所以 ；

（2） ，所以 ，所以 ，所以點評：本小題主要考查平面向量的概念和計算，三角函數(shù)的恒等變換的基本技能，著重考查數(shù)學運算能力．平面向量與三角函數(shù)結合是高考命題的一個新的亮點．

例5、已知向量 ，向量 ，且 ，

（1）求向量 與向量 的夾角為 ，向量 為 依次成等差數(shù)列，求 的取值范圍．

解析：（1）設 ，由 ，有 ①

向量 ，有 ，則 ②

由①、②解得：

（2）由 垂直知 ，

由 ，則 ，

例6、如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為bc的半圓形空地，△abc外的地方種草，△abc的內接正方形pqrs為一水池，其余的地方種花.若bc=a，∠abc=

（1）用a， 變化時，求 取最小值時的角解析：（1） ，則

固定，

令

函數(shù) 在 上是減函數(shù)，于是當 ．

點評：三角函數(shù)有著廣泛的應用，本題就是一個典型的范例．通過引入角度，將圖形的語言轉化為三角函數(shù)的符號語言，再將其轉化為我們熟知的函數(shù) 的圖象的一條對稱軸方程是（ ）

a.

c. d.

2、下列函數(shù)中，以 為周期的函數(shù)是（ ）

a.

b.

d.

3、已知 等于（ ）

a.

4、已知 b.

c. d.

5、函數(shù)a、 b、 c、 d、

6、如圖，半徑為2的⊙m切直線ab于o點，射線oc從oa出發(fā)繞著o點順時針方向旋轉到ob．旋轉過程中，oc交⊙m于p，記∠pmo為_，弓形pno的面積為 ，那么 的圖象是（ ）

7、tan15°－cot15°＝（ ）

a. 2 b. c. 4 d.

8、給出下列的命題中，其中正確的個數(shù)是（ ）

（1）存在實數(shù)α，使sinαcosα=1；

（2）存在實數(shù)α，使sinα cosα= ；

（3） 的值域為（ ）

a. b. c. 在下面哪個區(qū)間內是增函數(shù)（ ）

a. c.

11、若點p ］內

d.

12、定義在r上的函數(shù) 即是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若 的最小正周期是 ，且當 ，則 b. c.

二、填空題

13、 ，且當p點從水面上浮現(xiàn)時開始計算時間，有以下四個結論：

； ，則其中所有正確結論的序號是 ．

15、給出問題：已知 ，試判定 ，去分母整理可得 ， ．故 ，

（1）求函數(shù) 的奇偶性．

18、（1）已知： ，求證： 的最小值為0，求_的集合．

20、在 所對的邊分別為 ，

（1）求 ，求 的最大值．

21、已知向量 ，函數(shù) 的周期為 ，當22、如圖，足球比賽場的寬度為a米，球門寬為b米，在足球比賽中，甲方邊鋒沿球場邊線，帶球過人沿直線向前推進．試問：該邊鋒在距乙方底線多遠時起腳射門可命中角的正切值最大？（注：圖中表示乙方所守球門，所在直線為乙方底線，只考慮在同一平面上的情形）．

試題答案

1、a 2、d 3、a 4、a 5、a 6、a

7、d 8、b 9、b 10、d 11、b 12、d

13、

17、解：（1） ，

定義域：r，最小正周期為 ；

（2） ，且定義域關于原點對稱，

所以

（2）

當 ，

當

19、解： ，因為 ，有 ，

亦即 ，由 ，

解得 ，

當 ，最大值為0，不合題意，

當 ，最小值為0，

當 時，_的集合為：

（2） ，又 時， ，故 的最大值是 ．

21、解：（1） 且最大值為1，所以 由 ；

（2）由（1）知，令 所以 是 的對稱軸．

22、解：以l為_軸，d點為坐標原點，建立直角坐標系，

設ab的中點為m，則根據(jù)對稱性有

設動點c的坐標為 ，記 ，

當且僅當 ，

故該邊鋒在距乙方底線 時起腳射門可命中角的正切值最大．

高一數(shù)學學習：集合大小定義的基本要求三

不過作為集合大小的定義，我們希望能夠比較任意兩個集合的大小。所以，對于任何給定的兩個集合a和b，或者a比b大，或者b比a大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關系被稱為“全序關系”。

最后，新的定義必須保持原來有限集合間的大小關系。有限集合間的大小關系是很清楚的，所謂的“大”，也就是集合中的元素更多，有五個元素的集合要比有四個元素的集合大，在新的擴充了的集合定義中也必須如此。這個要求是理所當然的，否則我們沒有理由將新的定義作為老定義的擴充。

經(jīng)過精心的整理，有關“高一數(shù)學學習：集合大小定義的基本要求三”的內容已經(jīng)呈現(xiàn)給大家，祝大家學習愉快!

學好高中數(shù)學也需閱讀積累

閱讀，在語文中要抓住精煉的或生動形象的詞與句，而在數(shù)學中，則應抓住關鍵的詞語。比如在初二課本第一學期第21章第五節(jié)反比例函數(shù)性質的第一條：“當k>;0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限內，在每個象限內，自變量_逐漸增大時，y的值則隨著逐漸減小。&rdquo 高中歷史;這句話中，關鍵詞語是“在每個象限內”，反比例函數(shù)的圖像為雙曲線，而這個性質是對于其中某一分支而言，并不是對整個函數(shù)來說的。所以在做題時，應注意到這一點。從這一實例來看，我們不難發(fā)現(xiàn)閱讀時抓住關鍵詞語的重要性。

積累，在語文中有利于寫作，在數(shù)學中有利于解題。積累包括兩方面：一、概念知識，二、錯誤的題目。腦子中多一些概念就多了一些思考的方法，多了一些解題的突破口，在做較難的題目時，也就得心應手了。積累錯誤的題目，指挑選一些自己平時易錯或難懂的題目，記在本子上，在復習時，翻看這本本子就能更加清楚地了解自己在哪些方面還有所欠缺，應特別注意。所以積累對學好數(shù)學起著極大的作用。

自主復習最好各科交替進行

大部分區(qū)縣都將實行全區(qū)統(tǒng)考，并將考生成績進行大排隊。這次考試將成為考生填報高考志愿的重要參考依據(jù)。考生對此非常重視。元旦假期，不少考生計劃把時間都用來補習薄弱科目。

北京老師王梅生建議，在重點復習薄弱學科的同時，考生也要兼顧其他科目。不要在一大段時間內把精力全部用在某一科目上，這樣容易造成頭腦疲勞，影響復習效果?？忌詈脤⒏骺平惶孢M行，文理科兼顧，強弱科相間，單科與綜合科目結合進行。

此外，考生最好將各科復習時間安排得與考試時間同步。比如，考試第一天上午考語文，下午考數(shù)學，第二天上午考綜合，下午考英語?？忌@幾天最好上午復習語文與綜合，下午復習數(shù)學與英語，這樣有利于在相應的時間對相應科目產生興趣，提高興奮點。

提醒注意的是，考生在考前這幾天，不要打亂原有的生物鐘，盡量別開夜車復習，并注意把學習與休息相結合，保證8小時睡眠和適度體育鍛煉。這樣才能精力充沛，保證復習效果。

【第15篇 一次函數(shù)高一數(shù)學知識點總結

一次函數(shù)高一數(shù)學知識點總結

一、定義與定義式：

自變量_和因變量y有如下關系：

y=k_+b

則此時稱y是_的一次函數(shù)。

特別地，當b=0時，y是_的正比例函數(shù)。

即：y=k_(k為常數(shù)，k0)

二、一次函數(shù)的性質：

1.y的變化值與對應的_的變化值成正比例，比值為k

即：y=k_+b(k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù))

2.當_=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。

三、一次函數(shù)的圖像及性質：

1.作法與圖形：通過如下3個步驟

(1)列表;

(2)描點;

(3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與_軸和y軸的交點)

2.性質：(1)在一次函數(shù)上的任意一點p(_，y)，都滿足等式：y=k_+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是(0，b)，與_軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。

3.k，b與函數(shù)圖像所在象限：

當k0時，直線必通過一、三象限，y隨_的增大而增大;

當k0時，直線必通過二、四象限，y隨_的增大而減小。

當b0時，直線必通過一、二象限;

當b=0時，直線通過原點

當b0時，直線必通過三、四象限。

特別地，當b=o時，直線通過原點o(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。

這時，當k0時，直線只通過一、三象限;當k0時，直線只通過二、四象限。

四、確定一次函數(shù)的表達式：

已知點a(_1，y1);b(_2，y2)，請確定過點a、b的一次函數(shù)的表達式。

(1)設一次函數(shù)的表達式(也叫解析式)為y=k_+b。

(2)因為在一次函數(shù)上的任意一點p(_，y)，都滿足等式y(tǒng)=k_+b。所以可以列出2個方程：y1=k_1+b①和y2=k_2+b②

(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函數(shù)的表達式。

五、一次函數(shù)在生活中的'應用：

1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。

2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設水池中原有水量s。g=s-ft。

六、常用公式：(部分)

1.求函數(shù)圖像的k值：(y1-y2)/(_1-_2)

2.求與_軸平行線段的中點：|_1-_2|/2

3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2

4.求任意線段的長：(_1-_2)^2+(y1-y2)^2(注：根號下(_1-_2)與(y1-y2)的平方和)

以上就是由數(shù)學網(wǎng)為您提供的高一數(shù)學知識點總結：一次函數(shù)，希望給您帶來幫助!

【第16篇 《函數(shù)的對稱性》高一數(shù)學知識點總結

《函數(shù)的對稱性》高一數(shù)學知識點總結

一、 函數(shù)自身的對稱性探究

定理1.函數(shù) = f (_)的圖像關于點a (a ,b)對稱的充要條件是

f (_) + f (2a－_) = 2b

證明：（必要性）設點p(_ ,)是 = f (_)圖像上任一點，∵點p( _ ,)關于點a (a ,b)的對稱點p'（2a－_，2b－）也在 = f (_)圖像上，∴ 2b－ = f (2a－_)

即 + f (2a－_)=2b故f (_) + f (2a－_) = 2b，必要性得證。

（充分性）設點p(_0,0)是 = f (_)圖像上任一點，則0 = f (_0)

∵ f (_) + f (2a－_) =2b∴f (_0) + f (2a－_0) =2b，即2b－0 = f (2a－_0) 。

故點p'（2a－_0，2b－0）也在 = f (_) 圖像上，而點p與點p'關于點a (a ,b)對稱，充分性得征。

推論：函數(shù) = f (_)的圖像關于原點o對稱的充要條件是f (_) + f (－_) = 0

定理2. 函數(shù) = f (_)的圖像關于直線_ = a對稱的充要條件是

f (a +_) = f (a－_) 即f (_) = f (2a－_) （證明留給讀者）

推論：函數(shù) = f (_)的圖像關于軸對稱的充要條件是f (_) = f (－_)

定理3. ①若函數(shù) = f (_) 圖像同時關于點a (a ,c)和點b (b ,c)成中心對稱（a≠b），則 = f (_)是周期函數(shù)，且2 a－b是其一個周期。

②若函數(shù) = f (_) 圖像同時關于直線_ = a 和直線_ = b成軸對稱 （a≠b），則 = f (_)是周期函數(shù)，且2 a－b是其一個周期。

③若函數(shù) = f (_)圖像既關于點a (a ,c) 成中心對稱又關于直線_ =b成軸對稱（a≠b），則 = f (_)是周期函數(shù)，且4 a－b是其一個周期。

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

∵函數(shù) = f (_)圖像既關于點a (a ,c) 成中心對稱，

∴f (_) + f (2a－_) =2c，用2b－_代_得：

f (2b－_) + f [2a－(2b－_) ] =2c………………（_）

又∵函數(shù) = f (_)圖像直線_ =b成軸對稱，

∴ f (2b－_) = f (_)代入（_）得：

f (_) = 2c－f [2(a－b) + _]…………（__），用2（a－b）－_代_得

f [2 (a－b)+ _] = 2c－f [4(a－b) + _]代入（__）得：

f (_) = f [4(a－b) + _],故 = f (_)是周期函數(shù)，且4 a－b是其一個周期。

二、 不同函數(shù)對稱性的探究

定理4. 函數(shù) = f (_)與 = 2b－f (2a－_)的圖像關于點a (a ,b)成中心對稱。

定理5. ①函數(shù) = f (_)與 = f (2a－_)的圖像關于直線_ = a成軸對稱。

②函數(shù) = f (_)與a－_ = f (a－)的圖像關于直線_ + = a成軸對稱。

③函數(shù) = f (_)與_－a = f ( + a)的圖像關于直線_－ = a成軸對稱。

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③

設點p(_0 ,0)是 = f (_)圖像上任一點，則0 = f (_0)。記點p( _ ,)關于直線_－ = a的`軸對稱點為p'（_1， 1），則_1 = a + 0 , 1 = _0－a ，∴_0 = a + 1 , 0= _1－a 代入0 = f (_0)之中得_1－a = f (a + 1) ∴點p'（_1， 1）在函數(shù)_－a = f ( + a)的圖像上。

同理可證：函數(shù)_－a = f ( + a)的圖像上任一點關于直線_－ = a的軸對稱點也在函數(shù) = f (_)的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數(shù) = f (_)的圖像與_ = f 的圖像關于直線_ = 成軸對稱。

三、 三角函數(shù)圖像的對稱性列表

注：①上表中∈z

② = tan _的所有對稱中心坐標應該是(π/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主編的浙江教育出版社出版的21世紀高中數(shù)學精編第一冊（下）及陳兆鎮(zhèn)主編的廣西師大出版社出版的高一數(shù)學新教案（修訂版）中都認為 = tan _的所有對稱中心坐標是( π, 0 )，這明顯是錯的。

四、 函數(shù)對稱性應用舉例

例1：定義在r上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+_)為偶函數(shù)，且f (5－_) = f (5+_),則f (_)一定是（ ） （第十二屆希望杯高二 第二試題）

(a)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) (b)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(c)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) (d)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：∵f (10+_)為偶函數(shù)，∴f (10+_) = f (10－_).

∴f (_)有兩條對稱軸 _ = 5與_ =10 ，因此f (_)是以10為其一個周期的周期函數(shù)， ∴_ =0即軸也是f (_)的對稱軸，因此f (_)還是一個偶函數(shù)。

故選(a)

例2：設定義域為r的函數(shù) = f (_)、 = g(_)都有反函數(shù)，并且f(_－1)和g-1(_－2)函數(shù)的圖像關于直線 = _對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

（a） 1999； （b）2000； （c）2001； （d）2002。

解：∵ = f(_－1)和 = g-1(_－2)函數(shù)的圖像關于直線 = _對稱，

∴ = g-1(_－2) 反函數(shù)是 = f(_－1)，而 = g-1(_－2)的反函數(shù)是: = 2 + g(_), ∴f(_－1) = 2 + g(_), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,應選（c）

例3.設f(_)是定義在r上的偶函數(shù)，且f(1+_)= f(1－_),當－1≤_≤0時，

f (_) = － _，則f (8.6 ) = _________ （第八屆希望杯高二 第一試題）

解：∵f(_)是定義在r上的偶函數(shù)∴_ = 0是 = f(_)對稱軸；

又∵f(1+_)= f(1－_) ∴_ = 1也是 = f (_) 對稱軸。故 = f(_)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

例4.函數(shù) = sin (2_ + )的圖像的一條對稱軸的方程是（ ）(92全國高考理) (a) _ = － (b) _ = － (c) _ = (d) _ =

解：函數(shù) = sin (2_ + )的圖像的所有對稱軸的方程是2_ + = +

∴_ = － ,顯然取 = 1時的對稱軸方程是_ = － 故選(a)

例5. 設f(_)是定義在r上的奇函數(shù)，且f(_+2)= －f(_),當0≤_≤1時，

f (_) = _，則f (7.5 ) = （ ）

(a) 0.5 (b) －0.5 (c) 1.5 (d) －1.5

解：∵ = f (_)是定義在r上的奇函數(shù)，∴點（0，0）是其對稱中心；

又∵f (_+2 )= －f (_) = f (－_)，即f (1+ _) = f (1－_)， ∴直線_ = 1是 = f (_) 對稱軸，故 = f (_)是周期為2的周期函數(shù)。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故選(b)